Modéliser par une suite géométrique (d'après sujet E3C 2021)

Une ancienne légende raconte que le jeu d'échecs a été inventé par un vieux sage. Son roi voulut le remercier en lui accordant n'importe quel cadeau en récompense. Le vieux sage demanda qu'on lui fournisse un peu de riz pour ses vieux jours, et plus précisément qu'on place :

un grain de riz sur la première case du jeu qu'il venait d'inventer, deux grains de riz sur la case suivante, puis quatre grains de riz sur la troisième case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains de riz entre une case et la suivante, et ce jusqu'à la 64 ^e case (puisqu'un plateau de jeu d'échecs comporte 64 cases).

On note \(u_1\) le nombre de grains de riz présents sur la première case, \(u_2\) le nombre de grains sur la 2 ^e case, et ainsi de suite jusqu'à la  64 ^e case.

1. Déterminer \(u_1\) , \(u_2\) , \(u_3\) , \(u_4\) et \(u_5\) .

2. Exprimer, pour tout entier naturel `n` non nul,  `u_{n+1}` en fonction de `u_n` .

3. En déduire la nature de la suite  \((u_n)\) et en préciser les éléments caractéristiques.

Exprimer, pour tout entier naturel  \(n\) non nul,   `u_n` en fonction de `n` .

4. On veut calculer  le nombre de grains de riz qui doivent être disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage en utilisant une feuille de calcul.

    a. Que représentent les nombres de la colonne A ? Quelle formule doit-on utiliser dans la cellule A2 afin de récupérer les termes de la suite par recopie vers le bas ? 

    b. Ouvrir une feuille de calcul et donner une valeur approchée du nombre de grains de riz disposés sur le plateau.

5. On veut écrire une fonction en langage Python qui détermine à partir de quelle case, le vieux sage disposera d'au moins \(R\) grains de riz. Une ébauche de cette fonction est donnée ci-dessous.

1           \(\texttt{def nb_cases (R) :}\)

2               \(\texttt{case=1}\)

3                \(\texttt{u=1}\)

4                  \(\texttt{somme=u}\)

5                  \(\texttt{while somme ............ :}\)

6                         \(\texttt{u=..................}\)

7                         \(\texttt{somme= ............}\)

8                          \(\texttt{case=case+1}\)

9                  \(\texttt{return case}\)

Recopier et compléter cette fonction afin qu'elle renvoie le résultat voulu.

Solution

1. \(u_1 = 1\)

\(u_2 = 2 × u_1 = 2\)

\(u_3 = 2 × u_2 = 4\)

\(u_4 = 2 × u_3 = 8\)

`u_5 = 2 × u_4 = 16`

2. Le nombre de grains de riz est multiplié par \(2\) entre une case et la suivante, donc pour tout entier naturel \(n >0\) , on a : `u_{n+1} = 2 × u_n` .

3. La suite \((u_n )\) est donc géométrique de premier terme \(u_1 = 1\) et de raison \(q = 2\) .
On en déduit que, pour tout entier naturel \(n >0\) : \(u_n = u_1 × q^{n−1}= 2^{n−1}.\)

4. La formule à écrire dans la cellule A2 est :  =2*A1.  

En tirant vers le bas cette formule, on obtient  dans la colonne A le nombre de grains de riz sur la \(n^\text{e}\) case de l'échiquier.

En saisissant la formule = SOMME (A1:A64) dans la case B1, on obtient dans celle-ci le nombre total \(S\)  de grains de riz sur l'échiquier : \(S\simeq 1,8\cdot 10^{19}\) .

5.

1           \(\texttt{def nb_cases (R) :}\)

2               \(\texttt{case=1}\)

3                \(\texttt{u=1}\)

4                  \(\texttt{somme=u}\)

5                  \(\texttt{while somme

6                         \(\texttt{u=2*u}\)

7                         \(\texttt{somme=somme+u}\)

8                          \(\texttt{case=case+1}\)

9                  \(\texttt{return case}\)